研究巴拿赫空間之前，我們有必要完全弄清楚巴拿赫空間、希爾伯特內積空間、賦范線性空間這三者之間的區別和聯繫。
賦范線性空間是距離空間，希爾伯特內積空間必然是賦范線性空間，巴拿赫空間是完備的賦范線性空間。這是三者間的基本關係。
作為資深專家，具備大師水平的數學研究者，穆勒和沈奇同樣需要依託最基礎的理論去證明體系內的定理。
內積空間中的內積可以定義範數，而範數不一定非要內積來定義。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，而巴拿赫空間是完備距離空間的特例。
所以，沈奇基於穆勒在1982年的一條證明重新定義如下：
「巴拿赫空間x的一個非空子集c稱為逼近緊的，是指對任意{xn}∞n=1∈c及任意y∈x，如果使得
‖xn-y‖→dist（y，c）=inf{‖xn-y‖：x∈c}，
那麼{xn}∞n=1就存在一個柯西列，稱x是逼近緊的，且x的每個閉凸子集是逼近緊。」
「思路逐漸清晰，沈奇你認為一個巴拿赫空間x是逼近緊的當且僅當它具備drop性質。」穆勒教授再次檢查沈奇設定的前提條件。
巴拿赫空間綜合了泛函分析、拓撲、空間幾何等諸多分支，是一個有難度的領域，不適合初學者接觸。
「沒錯。」沈奇和穆勒交流起來非常通暢，聰明人不廢話，數學家不囉嗦。
「需要我做什麼？」穆勒教授問到，並沒有擺出教授及導師的架子，他視沈奇為平等的學術合作夥伴，就如當年的哈代和拉馬努金、高斯和黎曼、歐拉和拉格朗日、歐幾里得和阿基米德。
在學術上平等對待徒弟的師傅，往往能跟弟子一同載入史冊。酷愛消滅徒弟的畢達哥拉斯，他在數學史上的聲望評價為負分。
沈奇說到：「巴拿赫空間的rnp性質和鞅理論分析就拜託穆勒教授了，你是這方面的專家。」
「ok，那我們還等什麼？分頭幹活吧，爭取一個月之後合稿。」穆勒教授親力親為，這畢竟是他最先提出來的一個定理，他要親手完成這項跨越三十幾個春秋、滲透複雜感情的課題。
「ok。」沈奇收拾好資料，準備離開穆勒的辦公室，去完成人生中第一個以自己姓氏命名的數學定理。
「對了，明天你去帶導修課，這是我的教案備份和學生信息，你熟悉一下。」穆勒遞給沈奇一個又厚又重的文件袋。
「看來穆勒教授的一百二十美元並不容易賺到。」沈奇笑了笑，接過文件袋這便離開。
晚上和第二天上午，沈奇開始編寫「穆勒-沈定理」他負責的證明部分。
沈奇堅持將自己的姓氏放在後面，以體現對導師的尊重。
一整個下午，沈奇仔細研究穆勒關於非歐幾何的教案，這是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
穆勒在這個學期負責普大數學系本科生的一門課程，非歐幾何。
授課有兩種形式，大課以及導修課。
大課通常安排在能容納一百多名學生的大教室中進行，主講人是教授。
前美國總統伍德羅-威爾遜在普大當校長時，新增了一個「preceptorial」課程，即導修課，那時是1905年，這門課程一直延續到今天。
導修課實行小班制，通常由助教負責，一個導修班有10-12名學生，最多不超過15名學生。
在導修班上，助教帶領本科生們複習最近一周的學業，數學系的導修課大多由解題和討論構成。
普林斯頓非常重視本科生教育，本科生們上完大課還得上導修課，每一門核心專業課程都設置導修課。
普大本科生的學業繁重，門門功課拿到a，還能泡到妹子或帥哥，又能兼顧社團活動及體育運動，那他或她一定是最優秀的少數派精英。
晚上8點，沈奇抵達小教室，這是他作為助教第一次負責導修課。
一堂導修課一般持續2個小時左右，沈奇能領到120美元的酬勞。
時薪60美元在美國不算低，畢竟沈
